Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2

3

的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁A⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A₁-AC-B的大小余弦值；
（Ⅲ）若D为侧棱A₁A上一点，当

A1D

DA

为何值时，BD⊥A₁C₁．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）证明A₁A⊥BC，只需证明BC⊥平面A₁OA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°，过O作OE⊥AC于E，连接A₁E，则∠A₁EO为二面角A₁-AC-B的平面角；
（Ⅲ）过D作DF∥A₁O，交AO于F，则DF⊥平面ABC，要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC；
解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA₁为z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由题意知∠A₁AO=45°，A₁O=3，用坐标表示点与向量．根据

AA1

•

BC

=0，可得结论；
（Ⅱ）求出面ACA₁的法向量n₁=（

3

，1，1），面ABC的法向量为n₂=（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（Ⅲ）A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可，要使BD⊥AC，须

BD

•

AC

=0，由此可得结论．

解答：解法一：（Ⅰ）证明：连接AO，∵A₁O⊥面ABC，BC?面ABC
∴A₁O⊥BC
∵AO⊥BC，A₁O∩AO=O
∴BC⊥平面A₁OA
∵A₁A?平面A₁OA
∴A₁A⊥BC．…3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°
由底面是边长为2

3

的正三角形，可知AO=3，∴A₁O=3，AA₁=3

2

过O作OE⊥AC于E，连接A₁E，则∠A₁EO为二面角A₁-AC-B的平面角…6分
∵OE=

3

2

，∴tan∠A₁EO=

A1O

OE

=

3

3 2

=2…9分
即二面角A₁-AC-B的大小余弦值为

5

5

．

（Ⅲ）解：过D作DF∥A₁O，交AO于F，则DF⊥平面ABC，∴BF为BD在面ABC内的射影，
又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，
∴F为△ABC的中心，∴

A1D

DA

=

OF

FA

=

1

2

…8分

解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA₁为z轴建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）证明：由题意知∠A₁AO=45°，A₁O=3．
∴O（0，0，0），C（

3

，0，0），A（0，3，0），A₁（O，0，3），B（-

3

，0，0）．
∵

AA1

=（0，-3，3），

BC

=（2

3

，0，0）
∴

AA1

•

BC

=0×2

3

+（-3）×0+3×0=0．
∴AA₁⊥BC．…4分
（Ⅱ）解：设面ACA₁的法向量为n₁=（x，y，z），
则

n1• AC =(x，y，z)•( 3 ，-3，0)= 3 x-3y=0 n1 AA1 =(x，y，z)•(0，-3，3)=-3y+3z=0

令z=1，则x=

3

，y=1，∴n₁=（

3

，1，1）…6分
而面ABC的法向量为n₂=（0，0，1）…8分
cos（n₁，n₂）=

3 ×0+1×0+1×1

12+12+( 3 )2• 1

=

1

5

又显然所求二面角的平面角为锐角，
∴所求二面角的大小为

5

5

…9分
（Ⅲ）解：A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可，设AD=a，则D（0，3-

2

2

a，

2

2

a）
又B（-

3

，0，0），则

BD

=（-

3

，3-

2

2

a，

2

2

a），

AC

=（

3

，-3，0）．
要使BD⊥AC，须

BD

•

AC

=3-3（3-

2

2

a）=0，
得a=2

2

，而AA₁=3

2

，∴A₁D=

2

，
∴

A1D

DA

=

2

2 2

=

1

2

…13分．

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，利用两法并举，体现向量法的优越性，注意体会．