【题目】已知函数(且).
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)若,是否存在,使在的值域为?若存在,求出此时的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)奇函数;证明见解析;(2)存在,.
【解析】
(1)求出函数的定义域,然后利用奇偶性的定义验证函数的奇偶性;
(2)由,可得出,利用复合函数可分析出函数在区间上为减函数,由题意得,于是得出关于的方程在区间上有两解,即关于的方程在上有两个不等的实根,然后结合二次函数的图象列出关于的不等式组,解出即可.
(1)函数是奇函数;证明如下:
由解得或,所以,函数的定义域为,关于原点对称.
,
因此,函数为奇函数;
(2)由题意知,,且,.
令在上为增函数,
而函数为减函数,所以,函数在上为减函数,
假设存在,使得题意成立,则函数在上为减函数,
则有,即,.
所以、是方程的两正根,
整理得在有个不等根和,由韦达定理得,则.
令,则函数在有个零点,
则,解得.
因此,实数的取值范围是.
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【题目】已知点和圆,过的动直线与圆交于、两点,过作直线,交于点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)若不经过的直线与轨迹交于两点,且.求证:直线 恒过定点.
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【题目】已知曲线的极坐标方程为,倾斜角为的直线过点.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;
(2)设,是过点且关于直线对称的两条直线,与交于两点,与交于, 两点. 求证:.
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,点是曲线上的动点.点满足 (为极点).设点的轨迹为曲线.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,已知直线的参数方程是,(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;
(2)设直线交两坐标轴于,两点,求面积的最大值.
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【题目】设是两个非零平面向量,则有:
①若,则
②若,则
③若,则存在实数,使得
④若存在实数,使得,则或四个命题中真命题的序号为 __________.(填写所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】逐一考查所给的结论:
①若,则,据此有:,说法①正确;
②若,取,则,
而,说法②错误;
③若,则,据此有:,
由平面向量数量积的定义有:,
则向量反向,故存在实数,使得,说法③正确;
④若存在实数,使得,则向量与向量共线,
此时,,
若题中所给的命题正确,则,
该结论明显成立.即说法④正确;
综上可得:真命题的序号为①③④.
点睛:处理两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】已知在中,,且.
(1)求角的大小;
(2)设数列满足,前项和为,若,求的值.
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【题目】已知曲线,则下列结论正确的是 ( )
A. 把向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称
B. 把向右平移个单位长度,得到的曲线关于轴对称
C. 把向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称
D. 把向右平移个单位长度,得到的曲线关于轴对称
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