Question

8．己知函数f（x）=x²+ax的图象在点A（l，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 利用导数的几何意义、相互垂直的直线斜率之间的关系可得a，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+a，
∴f′（1）=2+a，
∵函数f（x）的图象在点A（l，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，
∴（2+a）×$（-\frac{1}{3}）$=-1，
解得a=1．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S₂₀₁₅=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）$
=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查了导数的几何意义、相互垂直的直线斜率之间的关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．