Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA₁垂直于底面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，AB=BC=AA₁=4，D为BC的中点．
（1）若E为棱CC₁的中点，求证：DE⊥A₁C；
（2）若E为棱CC₁上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足sinα=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$时CE的长．

Answer 1

分析 （1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥A₁C．
（2）求出平面ADE的法向量，由CE与平面ADE所成角α满足sinα=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，利用向量法能求出CE．

解答 解：（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=AA₁=4，D为BC的中点，E为棱CC₁的中点，
∴D（0，2，0），E（0，4，2），A₁（4，0，4），C（0，4，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-4，4，-4），
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+8-8=0，
∴DE⊥A₁C．
（2）设E（0，4，t），0≤t≤4，$\overrightarrow{CE}$=（0，0，t），A（4，0，0），
$\overrightarrow{AD}$=（-4，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-4，4，t），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-4x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-4x+4y+tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-$\frac{4}{t}$），
设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{{t}^{2}}•\sqrt{5+\frac{16}{{t}^{2}}}}$=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，
解得t=3或t=-3（舍），
∴CE=3．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．