【题目】已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆,离心率为
且过点
,过定点
的动直线与该椭圆相交于
两点.
(1)若线段中点的横坐标是
,求直线
的方程;
(2)在轴上是否存在点
,使
为常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)椭圆的离心率公式,及的关系,求得
,得到椭圆的方程;设出直线
的方程,将直线方程代入椭圆,用舍而不求和韦达定理方法表示出中点坐标,此时代入已知
中点的横坐标,即可求出直线
的方程;(2)假设存在点
,使
为常数,分别分当
与
轴不垂直时以及当直线
与
轴垂直时,求出点
的坐标,最后综合两种情况得出结论.
试题解析:(1)易求椭圆的方程为,
直线斜率不存在时显然不成立,设直线,
将代入椭圆的方程
,
消去整理得
,
设,则
,
因为线段的中点的横坐标为
,解得
,
所以直线的方程为
.
(2)假设在轴上存在点
,使得
为常数,
①当直线与
轴不垂直时,由(1)知
,
所以
,
因为是与
无关的常数,从而有
,
此时
②当直线与
轴垂直时,此时结论成立,
综上可知,在轴上存在定点
,使
,为常数
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【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若是椭圆
的左顶点,经过左焦点
的直线
与椭圆
交于
,
两点,求
与
的面积之差的绝对值的最大值.(
为坐标原点)
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【题目】已知数据,
,
,…,
是杭州市100个普通职工的2016年10月份的收入(均不超过2万元),设这100个数据的中位数为
,平均数为
,方差为
,如果再加上马云2016年10月份的收入
(约100亿元),则相对于
、
、
,这101个月收入数据( )
A.平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
B.平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
C.平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
D.平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
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【题目】有一块半径为的正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池
和其附属设施,附属设施占地形状是等腰
,其中
为圆心,
在圆的直径上,
在半圆周上,如图.
(1)设,征地面积为
,求
的表达式,并写出定义域;
(2)当满足
取得最大值时,开发效果最佳,求出开发效果最佳的角
的值,
求出的最大值.
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【题目】春节期间某超市搞促销活动,当顾客购买商品的金额达到一定数量后可以参加抽奖活动,活动规则为:从装有个黑球,
个红球,
个白球的箱子中(除颜色外,球完全相同)摸球.
(Ⅰ)当顾客购买金额超过元而不超过
元时,可从箱子中一次性摸出
个小球,每摸出一个黑球奖励
元的现金,每摸出一个红球奖励
元的现金,每摸出一个白球奖励
元的现金,求奖金数不少于
元的概率;
(Ⅱ)当购买金额超过元时,可从箱子中摸两次,每次摸出
个小球后,放回再摸一次,每摸出一个黑球和白球一样奖励
元的现金,每摸出一个红球奖励
元的现金,求奖金数小于
元的概率.
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【题目】中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众,先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加,各大学邀请的学生如下表所示:
大学 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
人数 | 8 | 12 | 8 | 12 |
从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座.
(1)求各大学抽取的人数;
(2)从(1)中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言,求这2名学生来自同一所大学的概率.
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