Question

11．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等
（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率
（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{2}^{2}•{∁}_{8}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$．
（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$．P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{4}^{2}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$，P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{6}^{2}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$，P（ξ=5）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{8}^{2}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{8}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$．

解答 解：（1）设事件A表示“取出的4支球拍上的数字互不相同”，则P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{2}^{2}•{∁}_{8}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{3}$．
（2）由题意可得ξ=2，3，4，5．则P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$．
P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{4}^{2}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{14}{210}$，
P（ξ=4）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{6}^{2}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{55}{210}$，
P（ξ=5）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{8}^{2}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{8}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{140}{210}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
P	$\frac{1}{210}$	$\frac{14}{210}$	$\frac{55}{210}$	$\frac{140}{210}$

∴E（ξ）=$2×\frac{1}{210}$+3×$\frac{14}{210}$+4×$\frac{55}{210}$+5×$\frac{140}{210}$=$\frac{457}{105}$．

点评 本题考查了相互独立事件与出事件的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．