Question

设函数f（x）=xⁿ+x-1（（n∈N₊，n≥2）．则f（x）在区间（，1）内（ ）
A．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递增
B．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…单调递减
C．存在唯一的零点x_n，且数列x₂，x₃，…，x_n…非单调数列
D．不存在零点

Answer 1

【答案】分析：利用零点的判断方法只要判断，说明函数f（x）在区间（，1）内存在零点；利用导数可证明f（x）在区间（，1）上单调，即可说明f（x）在区间（，1）内存在唯一的零点．再利用条件证明零点单调即可．
解答：解：当n≥2时，，f（1）=1＞0，∴，∴f（x）在区间（，1）内有零点．
又当x∈（，1）时，f^′（x）=nx^n-1+1＞0，∴f（x）在区间（，1）上单调递增．
故函数f（x）在区间（，1）内存在唯一的零点x_n．
下面证明所有零点组成的数列x₂，x₃，…，x_n…单调递增．
由，，，（i∈N₊）（i≥2）可知：x_n≠x_n+1．
用反证法证明：必有x_n＜x_n+1．
如若不然，则x_n+1＜x_n．
∵，于是，
∴1=＜=1，矛盾．
故必有x_n＜x_n+1．
故选A．
点评：熟练掌握函数零点的判断方法、利用导数证明单调性及反证法是解题的关键．