Question

如图，在六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A-BB1-C的大小（用反三角函数值圾示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD，则D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，而平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，则C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA，设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A₁E，C₁F，易证A₁C₁∥AC，从而A₁C₁与AC共面，过点B₁作B₁O⊥平面ABCD于点O，连接OE，OF，则点O在BD上，从而D₁B₁与DB共面．
（Ⅱ）欲证平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁ACC₁内一直线与平面B₁BDD₁垂直，因D₁D⊥平面ABCD，则D₁D⊥AC，又BD⊥AC，D₁D与BD是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，则AC⊥平面B₁BDD₁，又平面A₁ACC₁过AC，满足定理所需条件；
（Ⅲ）直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB，根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，
则B₁B⊥平面AMC，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角，在三角形AMC中求出此角即可．

解答：解：
（Ⅰ）证明：∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD．
∴D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD．
于是C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA．
设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A₁E，C₁F，
有A₁E∥D₁D，C₁F∥D₁D，DE=1，DF=1．∴A₁E∥C₁F，
于是A₁C₁∥EF．由DE=DF=1，得EF∥AC，
故A₁C₁∥AC，A₁C₁与AC共面．
过点B₁作B₁O⊥平面ABCD于点O，
则B1O

∥ .

.

A1E，B1O

∥ .

.

C1F，连接OE，OF，
于是OE

∥ .

.

B1A1，OF

∥ .

.

B1C1，∴OE=OF．
∵B₁A₁⊥A₁D₁，∴OE⊥AD．∵B₁C₁⊥C₁D₁，∴OF⊥CD．
所以点O在BD上，故D₁B₁与DB共面．
（Ⅱ）证明：∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直），
D₁D与BD是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，∴AC⊥平面B₁BDD₁．
又平面A₁ACC₁过AC，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．
（Ⅲ）解：∵直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．
过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，
则B₁B⊥平面AMC，
于是B₁B⊥MC，B₁B⊥MO，
所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角．
根据勾股定理，有A1A=

5

，C1C=

5

，B1B=

6

．
∵OM⊥B₁B，有OM=

B1O?OB

B1B

=

2

3

，
BM=

2 3

，AM=

10 3

，CM=

10 3

．
cos∠AMC=

AM2+CM2-AC2

2AM?CM

=-

1

5

，
∠AMC=π-arccos

1

5

，
二面角A-BB₁-C的大小为π-arccos

1

5

．

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．