Question

设椭圆C:(a〉b>0)的左焦点为，椭圆过点P（）

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点D(l,0),直线l:与椭圆C交于A、B两点，以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

解 （1）由题意知，b2 = a2－3，由 得 2a4－11a2 + 12 = 0，

所以（a²－4）（2a²－3）= 0，得 a² = 4或（舍去），

因此椭圆C的方程为．                      ……………… 4分

（2）由 得 ．

所以4k² + 1＞0，，

得 4k² + 1＞m²．                ①                       ……………… 6分

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），

则，，

于是 ，，．

设菱形一条对角线的方程为，则有 x =－ky + 1．

将点M的坐标代入，得 ，所以．     ②

将②代入①，得，

所以9k²＞4k² + 1，解得 k∈．  ……………… 12分

法2：

则由菱形对角线互相垂直，即直线l与垂直，由斜率的负倒数关系可整理得，即－3km = 4k² + 1，即， 代入①即得．

法3： 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），

则，，于是，两式相减可得 ，

即 x₀ + 4ky₀ = 0．      ①              

 因为 QD⊥AB，所以 ．         ②

由①②可解得 ，，表明点M的轨迹为线段（）．

当，k∈（，+∞）；当，k∈（－∞,）．

综上，k的取值范围是k∈．

【解析】略