Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若x=

2

3

为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-1使，方程f(1-x)-(1-x)3=

b

x

有实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据极值点的信息，我们要用导数法，所以先求导f′(x)=

a

ax+1

+3x2-2x-a，则x=

2

3

为f(x)的极值点，则有f′(

2

3

)=0从而求得结果．
（II）由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．
（III）将a=-1代入，方程f(1-x)-(1-x)3=

b

x

，可转化为b=xlnx+x²-x³，x＞0上有解，只要求得函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域即可．

解答：解：（I）f′(x)=

a

ax+1

+3x2-2x-a=

x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)]

ax+1

∵x=

2

3

为f(x)的极值点，∴f′(

2

3

)=0，
∴3a(

2

3

)2+

2

3

(3-2a)-(a2+2)=0且

2

3

a+1≠0，解得a=0
又当a=0时，f'（x）=x（3x-2），从而x=

2

3

为f(x)的极值点成立．
（II）因为f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以

x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)]

ax+1

≥0在[1，+∞)上恒成立．（6分）
若a=0，则f'（x）=x（3x-2），此时f（x）在[1，+∞）上为增函数成立，故a=0符合题意
若a≠0，由ax+1＞0对x＞1恒成立知a＞0．
所以3ax²+（3-2a）x-（a²+2）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=3ax²+（3-2a）x-（a²+2），其对称轴为x=

1

3

-

1

2a

，
因为a＞0，所以

1

3

-

1

2a

＜

1

3

，从而g（x）在[1，+∞）上为增函数．
所以只要g（1）≥0即可，即-a²+a+1≥0成立
解得

1- 5

2

≤a≤

1+ 5

2

又因为a＞0，所以0＜a≤

1+ 5

2

．（10分）
综上可得0≤a≤

1+ 5

2

即为所求
（III）若a=-1时，方程f(1-x)-(1-x)3=

b

x

可得lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
法一：b=x（lnx+x-x²）令h（x）=lnx+x-x²
由h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

∵x＞0∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，
从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h'（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]（15分）
法二：g'（x）=lnx+1+2x-3x²g″(x)=

1

x

+2-6x=-

6x2-2x-1

x
当0＜x＜

1+ 7

6

时，g″(x)＞0，所以g′(x)在0＜x＜

1+ 7

6

上递增；
当x＞

1+ 7

6

时，g″(x)＜0，所以g′(x)在c＞

1+ 7

6

上递减；
又g'（1）=0，∴令g′(x0)=0，0＜x0＜

1+ 7

6

∴当0＜x＜x₀时，g'（x）＜0，
所以g（x）在0＜x＜x₀上递减；当x₀＜x＜1时，g'（x）＞0，
所以g（x）在x₀＜x＜1上递增；当x＞0时，g（x）＜0，所以g（x）在x＞1上递减；
又当x→+∞时，g（x）→-∞，g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+

1

4

)
当x→0时，lnx+

1

4

＜0，则g（x）＜0，且g（1）=0所以b的取值范围为（-∞，0]

点评：本题主要考查导数在求最值和极值中的应用，变形与转化是导数法解题中的关键．