Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0）在[2，3]上为增函数，可得

g(3)=4 g(2)=1

，从而可求得a、b的值；
（Ⅱ）f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立⇒k≤1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2（x＞0）恒成立，从而可求得实数k的取值范围；
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0⇒|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，（|2^x-1|≠0），令|2^x-1|=t，则t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0），
当a＞0时，g（x）在区间[2，3]上为增函数，
故

g(3)=4 g(2)=1

，即

9a-6a+1+b=4 4a-4a+1+b=1

，解得

a=1 b=0

------（5分）
（Ⅱ）f（x）-kx≥0化为：x+

1

x

-2≥kx，
∵x＞0，
∴1+

1

x2

-

2

x

≥k，
∵1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2≥0（当x=1时取等号）
∴k≤0．----（10分）
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0可化为：
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，则方程化为
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵方程|2^x-1|+

1+2k

|2x-1|

-（2+3k）=0有三个不同的实数解，
∴由t=|2^x-1|的图象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
记φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
则

φ(0)=1+2k＞0 φ(1)=-k＜0

或 

φ(0)=1+2k＞0 φ(1)=-k＜0 0＜ 2+3k 2 ＜1

∴k＞0------（16分）

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．