Question

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2

3

)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

Answer 1

分析：（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|
（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．

解答：解：（1）因为图象的最高点为S(3，2

3

)
所以A=2

3

，
由图知y=Asin?x的周期为T=12，又T=

2π

?

，所以ω=

π

6

，所以y=2

3

sin

π

6

x
所以M（4，3），P（8，0）
|MP|=

(8-4)2+32

=5
（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）
由正弦定理得

5

sin120°

=

NP

sinθ

=

MN

sin(60°-θ)

，
所以NP=

10 3

3

sinθ，MN=

10 3

3

sin(60°-θ)
设使折线段赛道MNP为L则
L=

10 3

3

sin(60°-θ)+

10 3

3

sinθ
=

10 3

3

[sin(60°-θ)+sinθ]
=

10 3

3

sin(θ+60°)
所以L的最大值是

10 3

3

点评：本题考查有图象得三角函数的性质，由性质求函数的解析式、考查两点距离公式、考查三角形的正弦定理、考查三角函数的有界性．