Question

已知两个二次函数：y=f（x）=ax²+bx+1与y=g（x）=a²x²+bx+1，函数y=g（x）图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）证明：y=f（x）在（-1，1）上是单调函数；
（2）当a＞1时，设x₃，x₄是方程ax²+bx+1=0的两实根，且x₃＜x₄，当a＞1时，试判断x₁，x₂，x₃，x₄的大小关系．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=g（x）图象与x轴有两个交点，得它的根的判别式△=b²-4a²＞0，再求y=f（x）的导数f′（x），得
f′（-1）f′（1）＞0，说明一次函数f′（x）=2ax+b在区间（-1，1）的符号均为正数，或均为负数，得出结论；
（2）构造两个函数：F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通过讨论它们的零点，得出它们的根之间的大小关系．然后通过分类讨论和在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象，然后将两个图象向上平移一个单位，可得x₁，x₂，
x₃，x₄的大小关系，最后综合可得出正确的大小关系．

解答：解：（1）对函数y=f（x）求导数，得f′（x）=2ax+b
所以f′（-1）f′（1）=（-2a+b）（2a+b）=b²-4a²
∵函数y=g（x）图象与x轴有两个交点
∴y=g（x）根的判别式△=b²-4a²＞0
因此，f′（-1）f′（1）＞0
一次函数f′（x）=2ax+b在区间（-1，1）的符号均为正数，或均为负数
由此可得：y=f（x）在（-1，1）上是单调函数；
（2）记函数F（x）=f（x）-1=ax²+bx，G（x）=g（x）-1=a²x²+bx
两个函数有公共的零点x=0，此外F（x）还有一个零点x=-

b

a

，G（x）还有一个零点x=-

b

a2

，
①因为a＞1，当b＜0时由（1）得必定有0＜-

b

a2

＜ -

b

a

，
在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象：

将此两个图象都上移一个单位，可得函数f（x）和g（x）的图象
所以由图象可得x₁＜x₃＜x₂＜x₄
②当b＞0时，同理可得四个根的大小关系：x₁＜x₃＜x₂＜x₄
综上所述，可判断x₁，x₂，x₃，x₄的大小关系为：x₁＜x₃＜x₂＜x₄

点评：本题以一元二次方程的根的分布考查了二次函数的图象与性质，所含字母参数较多，属于难题．采用数形结合与分类讨论的思想解题，是本题解决的关键所在．