Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax²+（a-2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）． …（1分）
∴． …（3分）
∵f（x）在x=1处取得极值，
即f'（1）=-（2-1）（a+1）=0，
∴a=-1． …（5分）
当a=-1时，在内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．∴a=-1． …（6分）
（Ⅱ）∵a²＜a，∴0＜a＜1． …（7分）
∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，
∴f（x）在上单调递增；在上单调递减，…（9分）
①当时，f（x）在[a²，a]单调递增，
∴f_max（x）=f（a）=lna-a³+a²-2a； …（10分）
②当，即时，f（x）在单调递增，在单调递减，
∴； …（11分）
③当，即时，f（x）在[a²，a]单调递减，
∴f_max（x）=f（a²）=2lna-a⁵+a³-2a²． …（12分）
综上所述，当时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是lna-a³+a²-2a；
当时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是；
当时，函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值是2lna-a⁵+a³-2a²．
…（13分）
分析：（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；
（II）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当时，f（x）在[a²，a]单调递增，则f_max（x）=f（a），当时，f（x）在单调递增，在单调递减，f_max（x）=f（），当，即时，f（x）在[a²，a]单调递减，则f_max（x）=f（a²），从而求出所求．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．