Question

函数y=2^x-2和y=

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x2的图象如图所示，其中有且只有x=x₁、x₂、x₃时，两函数数值相等，且x₁＜0＜x₂＜x₃，o为坐标原点．
（Ⅰ）请指出图中曲线C₁、C₂分别对应的函数；
（Ⅱ）现给下列二个结论：
①当x∈（-∞，-1）时，2^x-2＜

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x2；
②x₂∈（1，2）；  
请你判定是否成立，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据已知中两个函数的图象，结合二次函数在对称轴左右两侧单调性相反，而指数函数在定义上单调，可分析出图中曲线C₁、C₂分别对应的函数；
（Ⅱ）①由函数解析式可得当x=-1时，两函数的函数值相等，结合两个函数在区间（-∞，-1）上的单调性，可得结论；②构造函数f(x)=2x-2-

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x2，根据函数零点存在定理可判断其真假．

解答：解：（Ⅰ）由已知中曲线C₁有一段从左到右是下降的
故C₁为y=

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x2，…（3分）
则C₂为y=2^x-2；   …（5分）
（Ⅱ）结论①成立，理由如下：
∵函数y=2^x-2在（-∞，-1]上是增函数，
∴x∈（-∞，-1）时，2x-2＜2-1-2=

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．…（7分）  
 又∵函数y=

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x2在（-∞，-1]上是减函数，
∴x∈（-∞，-1）时，

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x2＞

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×(-1)2=

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而

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＜

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，
所以当x∈（-∞，-1）时，2x-2＜

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x2；…（10分）
结论②成立，理由如下：
构造函数f(x)=2x-2-

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x2，
则f(1)=

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＞0，f(2)=-

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＜0
∴f（x）在区间（1，2）内有零点．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数与不等式之间的辩证关系，函数的零点，熟练掌握二次函数及指数函数的图象和性质是解答的关键．