精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
函数y=2x-2y=
1
3
x2
的图象如图所示,其中有且只有x=x1、x2、x3时,两函数数值相等,且x1<0<x2<x3,o为坐标原点.
(Ⅰ)请指出图中曲线C1、C2分别对应的函数;
(Ⅱ)现给下列二个结论:
①当x∈(-∞,-1)时,2x-2
1
3
x2

②x2∈(1,2);  
请你判定是否成立,并说明理由.
分析:(I)根据已知中两个函数的图象,结合二次函数在对称轴左右两侧单调性相反,而指数函数在定义上单调,可分析出图中曲线C1、C2分别对应的函数;
(Ⅱ)①由函数解析式可得当x=-1时,两函数的函数值相等,结合两个函数在区间(-∞,-1)上的单调性,可得结论;②构造函数f(x)=2x-2-
1
3
x2
,根据函数零点存在定理可判断其真假.
解答:解:(Ⅰ)由已知中曲线C1有一段从左到右是下降的
故C1y=
1
3
x2
,…(3分)
则C2为y=2x-2;   …(5分)
(Ⅱ)结论①成立,理由如下:
∵函数y=2x-2在(-∞,-1]上是增函数,
∴x∈(-∞,-1)时,2x-22-1-2=
1
8
.…(7分)  
 又∵函数y=
1
3
x2
在(-∞,-1]上是减函数,
∴x∈(-∞,-1)时,
1
3
x2
1
3
×(-1)2=
1
3
1
8
1
3

所以当x∈(-∞,-1)时,2x-2
1
3
x2
;…(10分)
结论②成立,理由如下:
构造函数f(x)=2x-2-
1
3
x2

f(1)=
1
6
>0,f(2)=-
1
3
<0

∴f(x)在区间(1,2)内有零点.…(14分)
点评:本题考查的知识点是函数的图象和性质,函数与不等式之间的辩证关系,函数的零点,熟练掌握二次函数及指数函数的图象和性质是解答的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

函数y=2x-2和y=
13
x2的图象如图所示,其中有且只有X=x1,x2,x3时,两函数值相等,
且x1<0<x2<x3,0为坐标原点.现给出下列三个结论:
①当x∈(-∞,-1)时,2x-2<x2
②x2∈(1,2);
③x3∈(4,5).其中正确结论的序号为
①②
①②

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

函数y=2x-2和y=
1
3
x2的图象如图所示,其中有且只有X=x1,x2,x3时,两函数值相等,
且x1<0<x2<x3,0为坐标原点.现给出下列三个结论:
①当x∈(-∞,-1)时,2x-2<x2
②x2∈(1,2);
③x3∈(4,5).其中正确结论的序号为______.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省宁德市高一(上)期末数学试卷(解析版) 题型:填空题

函数y=2x-2和y=x2的图象如图所示,其中有且只有X=x1,x2,x3时,两函数值相等,
且x1<0<x2<x3,0为坐标原点.现给出下列三个结论:
①当x∈(-∞,-1)时,2x-2<x2
②x2∈(1,2);
③x3∈(4,5).其中正确结论的序号为   

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省宁德市高一(上)期末数学试卷(解析版) 题型:填空题

函数y=2x-2和y=x2的图象如图所示,其中有且只有X=x1,x2,x3时,两函数值相等,
且x1<0<x2<x3,0为坐标原点.现给出下列三个结论:
①当x∈(-∞,-1)时,2x-2<x2
②x2∈(1,2);
③x3∈(4,5).其中正确结论的序号为   

查看答案和解析>>

同步练习册答案