Question

【题目】如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE= ，∠EAD=∠EAB．
（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接EG，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，

在△EAD和△EAB中，

AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，

∴△EAD≌△EAB，

∴ED=EB，则BD⊥EG，

又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，

∵BD平面ABCD，

∴平面ACEF⊥平面ABCD

（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，

易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，

∴∠EAC=60°，

∵EF⊥GM，EF⊥BD，

∴EF⊥平面BDM，

∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，

可求得MG= ，DM=BM= ，

在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD= ，

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为 ；

解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，

由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，

∵MG⊥平面ABCD，

∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，

分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，

可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，

则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（ ），F（ ），

， ，

设平面BEF的一个法向量为 ，则

，

取z=2，可得平面BEF的一个法向量为 ，

同理可求得平面DEF的一个法向量为 ，

∴cos＜ ＞= = ，

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）连接EG，由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，可证△EAD≌△EAB，进一步证明BD⊥平面ACEF，则平面ACEF⊥平面ABCD；（2）法一、过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，可得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，得到EF⊥平面BDM，可得∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，在△DMB中，由余弦定理求得∠BMD的余弦值，进一步得到二面角B﹣EF﹣D的余弦值；法二、在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，得MG⊥平面ABCD，则直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．