【题目】已知椭圆的焦点坐标是,过点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点,问三角形内切圆面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及此时直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;;
【解析】
(1)由通径长度可求得,再结合即可求解;
(2)设直线方程为,联立直线和椭圆方程可得关于的一元二次方程,求解出韦达定理,又由几何性质可得,,再由三角形的内切圆的面积公式,内切圆面积为,结合三个关系式可知,要使最大,即使最大,最终结合换元法和对勾函数可求最值;
设,代入标准方程可得,又,
故,又,求得,故椭圆的标准方程为:;
(2)由题可知要使三角形内切圆面积最大,即使内切圆半径最大,而三角形面积的两个等价公式有①,②,
其中,联立两式可得,设过的直线方程为,显然直线斜率不为0,联立
,则,
令,则,由对勾函数性质可知,当且仅当时,即时,取到最小值,又,时,单增,故,,,
此时,直线方程为:
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【题目】某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
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【题目】已知椭圆的左顶点为,右焦点为,上顶点为,过的直线交椭圆于、.当与重合时,与的面积分别为、.
(1)求椭圆的方程;
(2)在轴上找一点,当变化时,为定值.
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【题目】已知函数(,其中e为自然对数的底数).
(Ⅰ)若,求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数有两个不同的零点.
(ⅰ)当时,求实数的取值范围;
(ⅱ)设的导函数为,求证:.
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【题目】已知原命题是“若则”.
(1)试写出原命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断所写命题的真假;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
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【题目】在的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和.
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【题目】下列关于回归分析的说法中错误的是( )
A.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适
B.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C.在线性回归方程中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量就平均增加0.2个单位
D.甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80,则模型乙的拟合效果更好
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