Question

若函数f（x）满足下列两个性质：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域内存在某个区间使得f（x）在[a，b]上的值域是．则我们称f（x）为“内含函数”．
（1）判断函数是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数是“内含函数”，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数，其定义域为[0，+∞），∴函数在区间[0，+∞）上是单调增函数．
设在区间[a，b]上的值域是．
由，解得．
故函数是“内含函数”，且a=0，b=4．
（2）设g（x）=，其定义域为[1，+∞），且在定义域上单调递增．
∵g（x）为“内含函数”，∴存在区间[a，b]?[1，+∞），满足，．
即方程在区间[1，+∞）内有两个不等实根．
也即方程在区间[1，+∞）内有两个不等实根，令，则其可化为：
，即方程m²-2m+（1-2t）=0有两个非负的不等实根x₁、x₂．
∴解得．
∴实数t的取值范围是．
分析：（1）根据新定义“内含函数”，要满足两条：一是在其定义域上是单调函数，二是在定义域内存在某个区间[a，b]，且在此区间上的值域是即可．
（2）若函数是“内含函数”，其定义域为[1，+∞），且在定义域上单调递增，满足第一条；只要t再满足：存在区间[a，b]?[1，+∞），满足，，即可．
点评：充分理解新定义是进行判断的前提．其关键是看在定义域内方程f（x）=x是否存在两个不等的实数根．