Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=

2

2

，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-

2

2

，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且

AP

=λ

PB

．
（1）求椭圆方程；
（2）若

OA

+λ

OB

=4

OP

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由条件知a-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

，由此能导出C的方程．
（2）由

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

，知λ=3或O点与P点重合．当O点与P点重合时，m=0．当λ=3时，直线l与y轴相交，设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（1）设C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），设c＞0，c²=a²-b²，由条件知a-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

，
∴a=1，b=c=

2

2

，故C的方程为：y²+

x2

1 2

=1．
（2）由

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=4

OP

∴λ+1=4，λ=3或O点与P点重合，
当O点与P点重合时，m=0
当λ=3时，直线l与y轴相交，则斜率存在．
设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

y=kx+m 2x2+y2=1

得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0 （*）
x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

　                         
∵

AP

=3，
∴-x₁=3x₂
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，
消去x₂，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（

-2km

k2+2

）²+4

m2-1

k2+2

=0
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0　                         
m²=

1

4

时，上式不成立；
m²≠

1

4

时，k²=

2-2m2

4m2-1

，
因λ=3，∴k≠0，∴k²=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

 或 

1

2

＜m＜1
容易验证k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）∪{0}

点评：本题考查椭圆方程的求法和求m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．