Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，f'（x）=3x²-6ax+3≥0恒成立，从而由∴△=36（a²-1）≤0，即可求得实数a的取值范围；
（2）由于f'（x）=3[（x-a）²+1-a²]，对 1-a²分 1-a²≥0与1-a²＜0讨论，当1-a²＜0时，令f'（x）=0，可得f（x）的两个极值点，结合题意即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）在实数集R上单调递增，
∴f'（x）=3x²-6ax+3≥0恒成立
∴△=36（a²-1）≤0，解得：-1≤a≤1（5分）
（2）f'（x）=3（x²-2ax+1）=3[（x-a）²+1-a²]
当 1-a²≥0时，f'（x）≥0，f（x）在R上无极值点，（7分）
当 1-a²＜0时，|a|＞1，令f'（x）=0，易得f（x）有两个极值点x1=a-

a2-1

，x2=a+

a2-1

（8分）
因为f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
所以，2＜a-

a2-1

＜3或2＜a+

a2-1

＜3 （10 分）
不等式 2＜a-

a2-1

=

1

a+ a2-1

＜3，无解，
解不等式 2＜a+

a2-1

＜3得  

5

4

＜a＜

5

3

．
所以，a的取值范围是(

5

4

，

5

3

)（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论与化归思想，属于难题．