Question

设等差数列{a_n}前n项和为S_n，若a₃+a₄=15，a₂•a₅=54，公差d＜0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）求

Sn-(an-3)

n

的最大值及相应的n的值．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的性质可得

a2+a5=15 a2•a5=54

，联立方程可得a₂，a₅，代入等差数列的通项公式可求a_n．
（II）利用等差数列求和公式先求出

Sn-(an-3)

n

，然后利用均值不等式求出最值，注意变量取正整数．

解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}，∴a₂+a₅=a₃+a₄
∴

a2+a5=15 a2•a5=54

，d＜0
解得

a2=9 a5=6

，
∴

a1=10 d=-1

，
∴a_n=11-n
（Ⅱ）∵a1=10，an=11-n，
∴sn=-

1

2

n2+

21

2

n…（8分）
∴

Sn-(an-3)

n

=

- 1 2 n2+ 21 2 n-(8-n)

n

=-

1

2

(n+

16

n

)+

23

2

≤-

16

+

23

2

=

15

2

，
当且仅当n=

16

n

即n=4时取等号，∴当n=4时，所求最大值为

15

2

．

点评：本题主要考查了等差数列的通项和等差数列的求和，同时考查求解最大值问题，属于中档题．