Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,
∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.
(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为

Answer 1

(1)AE=a    (2)在AD上存在满足条件的点F.

(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC，AE为所求.
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a
∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=
∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一点F，使PC⊥CF
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.