Question

【题目】已知函数f（x）= x2+ax，g（x）=ex ， a∈R且a≠0，e=2.718…，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）g（x）在[﹣1，1]上极值点的个数；
（Ⅱ）令函数p（x）=f'（x）g（x），若a∈[1，3]，函数p（x）在区间[b+a﹣ea ， +∞]上均为增函数，求证：b≥e3﹣7．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）= x2+ax，g（x）=ex ， ∴h（x）=f（x）g（x）=（ x2+ax）ex ， h′（x）= ，
令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，由t（x）=0，得 ＜﹣1， ＞﹣1．
若a≤ ，则x2≥1，t（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，即h′（x）在[﹣1，1]上恒成立，h（x）单调递减，在[﹣1，1]上无极值点；
若a＞﹣ ，则﹣1＜x2＜1，当x∈[﹣1，x2）时，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x2 ， 1]时，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴x2是函数h（x）=f（x）g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点．
（Ⅱ）证明：p（x）=f'（x）g（x）=（x+a）ex ， p′（x）=ex（x+a+1），
∵函数p（x）在区间[b+a﹣ea ， +∞]上为增函数，∴ex（x+a+1）≥0在区间[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，
即x+a+1≥0在区间[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，
则b+a﹣ea+a+1≥0对a∈[1，3]恒成立，
∴b≥ea﹣2a﹣1对a∈[1，3]恒成立，
令φ（a）=ea﹣2a﹣1，则φ′（a）=ea﹣2＞0，
∴φ（a）=ea﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．
∴b≥e3﹣7．
【解析】（Ⅰ）求出函数h（x）的导函数，h′（x）= ，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，求出t（x）的两个零点 ＜﹣1， ＞﹣1．然后分a≤ 和a＞﹣ 讨论函数的单调性，从而求得函数h（x）=f（x）g（x）在[﹣1，1]上的一个极值点的个数；（Ⅱ）由函数p（x）在区间[b+a﹣ea ， +∞]上为增函数，可得p′（x）=ex（x+a+1）≥0在区间[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，转化为x+a+1≥0在区间[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，得到b≥ea﹣2a﹣1对a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=ea﹣2a﹣1，求导可得φ（a）=ea﹣2a﹣1在[1，3]上为增函数，则φ（a）的最大值为φ（3）=e3﹣7．从而证得b≥e3﹣7．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．