Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）≤0的解集为区间[0，2]，且f（x）在区间[0，3]上的最大值为3
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）回答下列问题（只需将答案填在横线上，不必写出解题过程）
①已知直线l：x-y+m=0与曲线C：y=f（x）（0≤x≤2）．若直线l与曲线段C有且只有一个交点，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,直线与圆锥曲线的关系

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由不等式f（x）≤0的解集为区间[0，2]，得到x=0，x=2是方程ax²+bx+c=0（a＞0）的两个根，然后结合根与系数关系得到b=-2a，c=0．即f（x）=ax²-2ax，由
f（x）在区间[0，3]上的最大值为3求得a=1，则函数解析式可求；
（2）由题意画出图形，数形结合得答案．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）≤0的解集为区间[0，2]，
∴x=0，x=2是方程ax²+bx+c=0（a＞0）的两个根，
则

- b a =2 c a =0

，即b=-2a，c=0．
∴f（x）=ax²-2ax，对称轴方程为x=1，
∴f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9a-6a=3a=3，即a=1．
∴f（x）=x²-2x；
（2）如图，

由图可知，要使直线l：x-y+m=0与曲线C：y=f（x）（0≤x≤2）有且只有一个交点，则m的取值范围是（-2，0]．
故答案为（-2，0]．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了二次函数的最值，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．