Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=a^xg（x）（a＞0且a≠1，

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，对于有穷数列

f(n)

g(n)

=(n=1，2，…0)，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于

15

16

的概率是（　　）

• A．

  3

  10

• B．

  2

  5

• C．

  1

  2

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：根据导数可知函数

f(x)

g(x)

的单调性，从而确定a的取值范围，然后根据条件求出a的值，从而可判定{

f(x)

g(x)

}是等比数列，求出前n项和，然后求出满足条件的n，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．

解答：解：∵f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-g′(x)f(x)

g2(x)

＜0即

f(x)

g(x)

单调递减，
又

f(x)

g(x)

=a^x，故0＜a＜1
所以由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，得a=

1

2

{

f(x)

g(x)

}是首项为

f(1)

g(1)

=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，其前n项和Sn=1-(

1

2

)2＞

15

16

∴n≥5所以P=

6

10

=

3

5

故选D．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及等比数列的前n项和，同时考查了运算求解能力，考查计算能力和转化得思想，属于基础题．