Question

M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．
（I）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
（II）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

Answer 1

分析：（I）由茎叶图可知甲部门、乙部门的人选数，先算出每人被抽中的概率，根据抽取比例可算出甲部门、乙部门所抽取的人数，“至少有一名甲部门人被选中”的概率等于1减去其对立事件“没有一名甲部门人被选中”的概率；
（II）依据题意，能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，通过计算即写出X的分布列，根据期望公式即可算出期望；

解答：解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为

8

20

=

2

5

，
根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，
所以选中的“甲部门”人选有10×

2

5

=4人，“乙部门”人选有10×

2

5

=4人，
用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件

.

A

表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1-P（

.

A

）=1-

C 3 4

C 3 8

=1-

4

56

=

13

14

．
因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是

13

14

；
（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 0 6 C 3 4

C 3 10

=

1

30

，P（X=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，P（X=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

，P（X=3）=

C 3 6 C 0 4

C 3 10

=

1

6

．
因此，X的分布列如下：

所以X的数学期望EX=0×

1

30

+1×

9

30

+2×

15

30

+3×

5

30

=

9

5

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查茎叶图、分层抽样，考查学生对问题的分析理解能力，掌握相关概念、公式是解决该类问题的基础．