Question

【题目】已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（0）=0，且f（x）是奇函数；
（2）求证：y=f（x），x∈R是增函数；
（3）设f（1）=2，求f（x）在x∈[﹣5，5]时的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：令x=y=0，则f（0﹣0）=f（0）﹣f（0），∴f（0）=0．

令x=0，则f（﹣y）=f（0）﹣f（y）=﹣f（y），∴函数f（x）是奇函数

（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0，

∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x2﹣x2）=f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），

∴y=f（x），x∈R是增函数

（3）解：由（2）可知：f（x）在x∈[﹣5，5]时是增函数，

因此最大值与最小值分别为f（5），f（﹣5）．

∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（2﹣1）=2f（1）=4，f（4）=2f（2）=8．

f（5）=f（1）+f（5﹣1）=2+8=10．

∴f（﹣5）=﹣f（5）=﹣10．

∴f（x）在x∈[﹣5，5]时的最大值与最小值分别为10，﹣10

【解析】（1）令x=y=0，解得f（0）=0．令x=0，可得f（﹣y）=﹣f（y），可得函数f（x）是奇函数．（2）设x1 ， x2∈R，x1＜x2 ， 则x2﹣x1＞0，可得当x＞0时，f（x）＞0．f（x2﹣x2）=f（x2）﹣f（x1）＞0即可证明．（3）由（2）可知：f（x）在x∈[﹣5，5]时是增函数，因此最大值与最小值分别为f（5），f（﹣5）．由f（1）=2，可得f（2）=f（1）+f（2﹣1）=2f（1），同理可得f（4）=2f（2）．可得f（5）=f（1）+f（5﹣1），f（﹣5）=﹣f（5）．