Question

10．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA_l=3，点D为C₁B的中点，点P为AB的中点．
（1）证明DP∥平面ACC_lA_l•
（2）求三棱锥C₁-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结DP，AC₁，推导出DP∥AC₁，由此能证明DP∥平面ACC_lA_l•
（2）三棱锥C₁-ABC的体积${V}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×C{C}_{1}×{S}_{△ABC}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连结DP，AC₁，
∵点D为C₁B的中点，点P为AB的中点，
∴DP∥AC₁，
∵DP?平面ACC_lA_l，AC₁?平面ACC_lA_l，
∴DP∥平面ACC_lA_l•
解：（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA_l=3，
∴三棱锥C₁-ABC的体积：
${V}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×C{C}_{1}×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×3×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．