Question

已知奇函数f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．
（2）若函数f（x）在区间[-1，|a|-2]上单调递增，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

的定义，对应相等求出m的值；画出图象．
（2）根据函数的图象知函数的单调递增区间，从而得到|a|-2的一个不等式，解不等式就求得a 的取值范围．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-（x）²+2（-x）=-x²-2x
又f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x，∴f（x）=x²+2x，∴m=2
y=f（x）的图象如右所示

（2）由（1）知f（x）=

-x2+2x x＞0 0 x=0 x2+2x x＜0

，
由图象可知，f（x）在[-1，1]上单调递增，要使f（x）在[-1，|a|-2]上单调递增，只需

|a|-2＞-1 |a|-2≤1

解之得-3≤a＜-1或1＜a≤3

点评：考查奇函数的定义，应用转化的思想求值；作函数的图象，求a的取值范围，体现了作图和用图的能力，属中档题．