Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足

PE

=

1

3

PD

．
（1）证明：PA⊥平面ABCD．
（2）在线段BC上是否存在点F，使得PF∥平面EAC？若存在，确定点F的位置，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证PA⊥平面ABCD．只要证PA垂直于平面ABCD倍的两条相交直线即可．
由PB⊥BC，AB⊥BC可得BC⊥面PAB，所以BC⊥PA，同理可得CD⊥PA，命题可证．
（2）由线面平行的判定定理，只要找线线平行即可，结合E为AD上的三等分点，由平面几何平行线分线段成比例找点F即可．

解答：证明：（1）

AB⊥BC PB⊥BC

?BC⊥平面PAB?BC⊥PA，
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD．
（2）当F为BC中点时，PF∥平面EAC，理由如下：设AC，FD交于点S
因为AD∥FC所以

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

又因为

PE

ED

=

1

2

所以PF∥ES
因为PF?平面EAC，ES?平面EAC，所以PF∥平面EAC．

点评：本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．