Question

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，E（1，

3

2

）是C上的一点．F为C的右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A、B），与椭圆在点B处的切线交于点D．当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）假设椭圆的标准方程，利用A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，E（1，

3

2

）是C上的一点，即可求椭圆C的标准方程；
（2）先设出直线l的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将l的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可．

解答：解：（1）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则a=2
∴

x2

4

+

y2

b2

=1
∵E（1，

3

2

）是C上的一点
∴

1

4

+

9 4

b2

=1
∴b²=3
∴

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可设直线l的方程为y=k（x+2）（k≠0），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
将直线方程代入椭圆方程可得得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x₀=

16k2-12

3+4k2

∴x₀=

6-8k2

3+4k2

，y₀=k（x₀+2）=

12k

3+4k2

因为点F坐标为（1，0），
当k=±

1

2

时，点P的坐标为（1，±

3

2

）），点D的坐标为（2，±2），
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y?1）²=1与直线PF相切．
当k≠±

1

2

时，则直线PF的斜率k_PF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

所以直线PF的方程为y=

4k

1-4k2

(x-1)，属于点E到直线PF的距离d=2|k|
又因为|BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|，所以以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线l绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评：本题考查椭圆的性质及标准方程、考查直线与椭圆的位置关系及直线与圆的位置关系，考查方程思想、分类讨论、数形结合等数学思想，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．