Question

5．过曲线y=3x-x³上一点A（2，-2）的切线方程为（　　）

• A． y=-2
• B． 9x+y+16=0
• C． 9x+y-16=0
• D． 9x+y-16=0或y=-2

Answer 1

分析 由题意设出切点为P（x₀，${3x}_{0}{{-x}_{0}}^{3}$），求出导数和切线的斜率，代入点斜式方程求出切线方程，把点A（2，-2）代入切线方程，化简、变形求出x₀的值，代入切线方程化简即可．

解答 解：由题意设切点为P（x₀，${3x}_{0}{{-x}_{0}}^{3}$），
∵y′=3-3x²，∴切线斜率k=${3{-3x}_{0}}^{2}$，
则曲线在P点的切线方程为y-（${3x}_{0}{{-x}_{0}}^{3}$）=（${3{-3x}_{0}}^{2}$）（x-x₀），
∵A（2，-2）在切线上，∴-2-（${3x}_{0}{{-x}_{0}}^{3}$）=（${3{-3x}_{0}}^{2}$）（2-x₀），
化简得，${{x}_{0}}^{3}-{{3x}_{0}}^{2}+4=0$，
∴${{x}_{0}}^{3}+1-{{3（x}_{0}}^{2}-1）=0$，则$（{x}_{0}+1）（{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+4）=0$，
解得x₀=-1或2，
当x₀=-1时，切线方程为：y=-2；
当x₀=-1时，切线方程为：9x+y-16=0．
∴切线方程为：y=-2或9x+y-16=0，
故选：D．

点评 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，解题应注意在某点处和过某点的区别，属于易错题，考查化简、计算能力．