Question

有以下命题：①若集合A={1，2}，B={x|x⊆A}，则A∈B；②二项式（2x-3y）⁵的展开式的各项的系数和为2⁵；③已知函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a²-8）x+1在x=1处取得极值，则实数a的值是-2或3；④已知点P（x，y）是抛物线y²=-12x的准线与双曲线x²-y²=1的两条渐近线所围成的三角形区域（含边界）内的任意一点，则z=2x-y的最大值为9．其中正确命题的序号有________．

Answer 1

①④
分析：求出集合B的元素判断出①正确；给二项式（2x-3y）⁵中的x，y赋值1得到展开式的各项的系数和为-2⁵，判断出②不正确
求出f′（x）根据极值的特点得到f′（1）=0，求出a=-2或a=3，将a的值代入导函数验证，判断出当a=3时不合题意；判断出③不正确；求出抛物线的准线，双曲线的渐近线，利用线性规划求出z的最大值判断出④正确．
解答：对于①，因为B={x|x⊆A}={∅，{1}，{2}，{1，2}}，所以A∈B，故①正确；
对于②，令二项式（2x-3y）⁵的x=y=1得展开式的各项的系数和为-2⁵，故②不正确；
对于③，因为f′（x）=6x²-6（a-1）x+6（a²-8），因为在x=1处取得极值，所以6-6（a-1）+6（a²-8）=0，所以a=-2或a=3，
当a=-2时，f′（x）=6x²-6（a-1）x+6（a²-8）=6x²+18x-24=6（x-1）（x+4）合题意；
当a=3时，f′（x）=6x²-6（a-1）x+6（a²-8）=6x²-12x+6=6（x-1）²不合题意；故③不正确；
对于④，据题意，抛物线y²=-12x的准线与双曲线x²-y²=1的两条渐近线所围成的三角形区域为：

当直线z=2x-y过（3，-3）时z有最大值，最大值为9，故④正确；
故答案为①④
点评：本题考查通过赋值法求二项展开式的系数和；考查利用导数解决函数的极值问题，考查利用线性规划求函数的最值问题，属于中档题．