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已知二次函数f(x)同时满足下列条件:
(1)f(x+1)=f(1-x),
(2)f(x)的最大值15,
(3)f(x)=0的两根立方和等于17,求f(x)的解析式.
分析:由(1)可知函数f(x)关于x=1对称,可设f(x)=a(x-1)2+b根据(2)有最大值15,和f(x)=0的两根立方和等于17,由此即可求出f(x)的解析式.
解答:解:∵二次函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),函数关于x=1对称,
可设f(x)=a(x-1)2+b,
∵f(x)的最大值15,
∴x=1时,b=15,且开口向下,
a<0,∴y=a(x-1)2+b=ax2-2ax+a+15,
设方程两个根为x1,x2
可得x1+x2=2,x1,×x2=
a+15
a

∵x13+x23=17,
∴(x1+x23=x13+x23+3x1•x2(x1+x2),
∴23=17+3×2×
15+a
a
,解得a=-6,
∴y=-6(x-1)2+15;
点评:此题主要考查二次函数的图象及其性质,还有其解析式的求法,是一道基础题,考查的知识点比较全面;
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