Question

已知命题P：曲线y=x²+（m-1）x+1与x轴交于不同的两点，命题q：方程

x2

m2+1

+

y2

(m-1)2

=1表示焦点在y轴上的椭圆，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：命题p正确，由△＞0可求得m的取值范围；命题q正确，亦可求得实数m的取值范围，利用p∧q为假命题，p∨q为真命题即可求得答案．

解答：解：∵命题P：曲线y=x²+（m-1）x+1与x轴交于不同的两点，
∴△=（m-1）²-4=m²-2m-3＞0，
∴m＞3或m＜-1；
∵命题q：

x2

m2+1

+

y2

(m-1)2

=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴（m-1）²＞m²+1，
∴m＜0．
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p真q假，或p假q真．
即

m＞3或m＜-1 m≥0

或

-1≤m≤3 m＜0

，
∴m＞3或-1≤m＜0．
∴实数m的取值范围为[-1，0）∪（3，+∞）．

点评：本题考查复合命题的真假，分别求得命题p正确时实数m的取值范围与命题q正确时实数m的取值范围是关键，也是难点，属于中档题．