Question

（1）求函数y=log

1

3

(x2-3x)的单调区间．
（2）已知函数f（x）=

x2+4x，  x≥0 4x-x2，  x＜0

，若f（2-a²）＞f（a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令t=x²-3x＞0，求得函数y=log

1

3

(x2-3x)的定义域为（-∞，0）∪（3，+∞），且y=log

1

3

t，本题即求二次函数t在（-∞，0）∪（3，+∞）上的单调区间．
再利用二次函数的性质可得t的增区间和减区间，即可求得函数y的减区间和增区间．
（2）由题意可得函数f（x）在R上是增函数，要使f（2-a²）＞f（a），只要2-a² ＞a即可，由此求得a的范围．

解答：（1）解：令t=x²-3x＞0，求得x＜0，或 x＞3，
函数y=log

1

3

(x2-3x)的定义域为（-∞，0）∪（3，+∞），且y=log

1

3

t，
故本题即求二次函数t在（-∞，0）∪（3，+∞）上的单调区间．
利用二次函数的性质可得t的增区间为（3，+∞），减区间为（-∞，0），
故函数y的减区间为（3，+∞），增区间为（-∞，0）．
（2）由题意可得函数f（x）=

x2+4x，  x≥0 4x-x2，  x＜0

在R上是增函数，
要使f（2-a²）＞f（a），
只要2-a² ＞a 即可，
解得-2＜a＜1，即a的范围为（-2，1）．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断，复合函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．