Question

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案．
（Ⅱ）由f'（x）=lnx+1，知f（x）=xlnx在（x₀，x₀lnx₀）处的切线方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），由切线l过点（0，-1），解得x₀=1，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵当f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增，在x=

1

e

处取得极小值，
且极小值为f（

1

e

）=-

1

e

．
（Ⅱ）∵f'（x）=lnx+1，
∴f（x）=xlnx在（x₀，x₀lnx₀）处的切线方程为y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
∵切线l过点（0，-1），
∴-1-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（-x₀），
解得x₀=1，
∴直线l的方程为：y=x-1．

点评：本题考查曲线的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．