Question

已知函数，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_n•f（a_n），求数列{b_n}的前n项和S_n的最小值..

Answer 1

（1）证明：∵函数，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
∴=2+（n-1）×2=2n
∴
∵
∴数列{a_n}是等比数列；（7分）
（2）解：由（1）知，．…（8分）
∴，①
②…（10分）
②-①，得=
∴…（12分）
∵S_n+1-S_n=（n+1）×2ⁿ⁺²＞0
∴{S_n}是递增数列，所以S_n的最小值等于S₁=4…（14分）
分析：（1）根据函数，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列，可得，从而可得数列{a_n}是等比数列；
（2）写出通项，利用错位相减法求和，确定其单调性，即可求得数列{b_n}的前n项和S_n的最小值．
点评：本题考查等比数列的证明，考查错位相减法求数列的和，考查单调性，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．