(本小题满分14分)
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在对角线A1C1上,记二面角P-AB-C为α,二面角P-BC-A为β。
(1)当A1P:PC1=1:3时,求cos(α+β)的大小。
(2)点P是线段A1C1(包括端点)上的一个动点,问:当点P在什么位置时,α+β有最小值?
(1)- (2)P为A1C1的中点
解析试题分析:
作PO⊥面ABCD于O,作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F
∵正方体ABCD-A1B1C1D1
∴点O在线段AC上,且AO:OC=1:3
∴α=∠PEO,β=∠PFO
EO=,FO=
,PO=1,PE=
,PF=
2分
cosα=,sinα=
,cosβ=
, sinβ=
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ==-
4分
(2)(8分)
设A1P=kA1C1,k∈[0,1] 5分
由第(1)题可知α=∠PEO,β=∠PFO
EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF=
cosα=,sinα=
,cosβ=
,
sinβ= 7分
当k=0或1时,即点P与A1或C1重合时,其中一个角为,另一个角为
,
此时α+β=,tan(α+β)= -1 8分
∴当k≠0,且k≠1时,tanα=,tanβ=
zxxk
∴tan(α+β)
= 11分
∵k∈(0,1) ∴ ∴tan(α+β)∈
∵ ∴
∴tan(α+β)=时,α+β有最小值,此时k=
时,即点P为A1C1的中点。 14分
考点:二面角的求法
点评:本题有一定难度,多章节知识的综合
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,在四棱锥S - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA ="AB=BC" =2,AD =1.M是棱SB的中点.
(Ⅰ)求证:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为,求sin
的最大值,
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,底面
是正方形,侧棱
⊥底面
,
,
是
的中点,作
交
于点
(1) 证明//平面
;
(2) 证明⊥平面
;
(3) 求二面角—
—
的大小。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题12分)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
(Ⅰ)求证:DM∥平面APC;
(II)求证:平面ABC⊥平面APC.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,在长方体中,
,
,
是棱
上一点,
(1)若为CC1的中点,求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;
(2)是否存在这样的,使得平面ABM⊥平面A1B1M,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com