Question

已知数列{an}满足an+1=2an-1且a1=3，bn=

an-1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求证数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-1进行变形即得a_n+1-1=2（a_n-1），由此形式即可判断出数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式，可以根据（1）的结论先求出a_n-1，解方程即得{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和S_n．先求{b_n}的通项公式，根据其形式发现，数列{b_n}的前n项和为S_n可用累加法求得．

解答：解：（1）∵a₁=3，a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴{a_n-1}是以a₁-1=2为首项，以2为公比的等比数列．（4分）
（2）由（1）知：∴a_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1 （8分）
（3）由题意及（2）得bn=

2n

anan+1

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，（8分）
∴Sn=(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)++(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

（13分）

点评：本题考查证明数列的等比的性质，利用等比数列的求和公式求和，及根据数列的通项形式选择合适的方法求和，本题是数列中有一定综合性的题目．在第一问及第三问中对观察变形的能力要求较高，做题时用心体会一下．