Question

18．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B
④若函数$f（x）=aln（{x+2}）+\frac{x}{{{x^2}+1}}（{x＞-2，a∈R}）$有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题为（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据题中的新定义，结合函数值域的概念，从而得到本题的结论

解答 解：①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”
∴命题①是真命题； 
 ②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足-2＜f（x）＜5，则有-5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题②“若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值．”是假命题； 
 ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
则f（x）+g（x）∉B．
∴命题③是真命题．
④∵函数f（x）=aln（x+2）+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2，a∈R）有最大值，
∴假设a＞0，当x→+∞时，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→0，ln（x+2）→+∞，
∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符； 
  假设a＜0，当x→-2时，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→$-\frac{2}{5}$，ln（x+2）→-∞，
∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．
∴a=0．
即函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2）
当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，∴0$＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2}$，即 0＜f（x）≤$\frac{1}{2}$； 
当x=0时，f（x）=0； 
当x＜0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2，∴-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$＜0，即-$\frac{1}{2}$≤f（x）＜0．
∴-$\frac{1}{2}$≤f（x）＜$\frac{1}{2}$..即f（x）∈B．
故命题④是真命题．
故选：D

点评 本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．