【题目】已知抛物线经过点
,过
作两条不同直线
,其中直线
关于直线
对称.
(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程;
(Ⅱ)设直线分别交抛物线
于
两点(均不与
重合),若以线段
为直径的圆与抛物线
的准线相切,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ) ;准线方程为
;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)将点坐标代入曲线方程求出
,于是可得曲线方程.(Ⅱ)方法一:由题意设出直线
的方程,与抛物线方程联立消元后根据根与系数的关系求出点
的坐标,同理得到点
的坐标,然后根据以线段
为直径的圆与抛物线
的准线相切可求得点
中的参数,进而可得所求方程.方法二:由题意得
与
的倾斜角互补,由此可得
,于是可设直线
的方程为
,与曲线方程联立消元后再根据题意求得参数
,进而得到直线方程.
(Ⅰ)∵抛物线过点
,
∴,解得
,
∴抛物线的方程为,准线方程为
.
(Ⅱ)方法一:不妨设在
的左边,从而可设直线
的方程为
,即
,
由消去
整理得
.
设,
则,故
,
∴,
∴点.
又由条件得与
的倾斜角互补,以
代替点
坐标中的
,
可得点.
∴,且
中点的横坐标为
,
∵以线段为直径的圆与抛物线
的准线相切,
∴,解得
∴,
,
∴,
∴直线的方程为
,即
.
方法二:设,
因为直线关于
对称,所以
与
的倾斜角互补,
所以,
所以,
所以.
设直线的方程为
,
由消去去
整理得
,
所以,
所以,且
中点D的横坐标为
.
因为以线段为直径的圆与抛物线的准线
相切,
所以,
即,解得
,
所以直线的方程为
,即
.
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【题目】已知函数f(x)=aex图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设直线x=t(t>0)分别与曲线y=f(x)和y=g(x)交于P,Q两点,求证:|PQ|>2.
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【题目】(请写出式子在写计算结果)有4个不同的小球,4个不同的盒子,现在要把球全部放入盒内:
(1)共有多少种方法?
(2)若每个盒子不空,共有多少种不同的方法?
(3)恰有一个盒子不放球,共有多少种放法?
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【题目】已知圆C的圆心在x轴上,且经过点.
(1)求圆C的方程;
(2)若点,直线l平行于OQ(O为坐标原点)且与圆C相交于M,N两点,直线QM、QN的斜率分别为kQM、kQN,求证:kQM+kQN为定值.
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【题目】已知椭圆与圆
:
有且仅有两个公共点,点
、
、
分别是椭圆
上的动点、左焦点、右焦点,三角形
面积的最大值是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点在椭圆第一象限部分上运动,过点
作圆
的切线
,过点
作
的垂线
,求证:
,
交点
的纵坐标的绝对值为定值.
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【题目】如图,抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点
、
、
均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当与
的斜率存在且倾斜角互补时,求
的值及直线
的斜率.
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【题目】假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标,现从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读,请写出第3支疫苗的编号______________________
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
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【题目】为了迎接2019年全国文明城市评比,某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示:
组别 | |||||||
频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求
;
(2)在(1)的条件下,文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于
的可以获赠1次随机话费;
(ii)每次获赠的随机话费和对应的概率为:
获赠的随机话费(单位:元) | 20 | 40 |
概率 |
现市民小王要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列及数学期望.
附:①;
②若,则
,
,
.
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