Question

已知全集∪={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅰ）求集合U的非空子集的个数；
（Ⅱ）若集合M={2，3}，集合N满足M⊆N⊆∪，记集合N元素的个数为ξ，求ξ的分布列数数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由全集∪={1，2，3，4，5，6}，能求出集合U的非空子集的个数．
（Ⅱ）ξ的所有取值为2，3，4，5，6．满足条件的集合N所有可能的结果总数为：

C

0 4

+

C

1 4

+

C

2 4

+

C

3 4

+

C

4 4

=24=16．分别求出每个随机变量ξ的概率，由此能得以ξ的分布列和数学期望．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵全集∪={1，2，3，4，5，6}，
∴集合U的非空子集的个数为2⁶-1=63个．…（5分）
（Ⅱ）ξ的所有取值为2，3，4，5，6．
满足条件的集合N所有可能的结果总数为：

C

0 4

+

C

1 4

+

C

2 4

+

C

3 4

+

C

4 4

=24=16．…（7分）
则每个随机变量ξ的概率分别为：
P（ξ=2）=

C 0 4

16

=

1

16

，
P（ξ=3）=

C 1 4

16

=

1

4

，
P（ξ=4）=

C 2 4

16

=

3

8

，
P（ξ=5）=

C 3 4

16

=

1

4

，
P（ξ=6）=

C 4 4

16

=

1

16

．…（11分）
所以ξ的分布列为：

Eξ=2×

1

16

+3×

1

4

+4×

3

8

+5×

1

4

+6×

1

16

=4．…（13分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．