解:(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)?f(x)=
f(x-1),x∈[n,n+1],则(x-n)∈[0,1]
?f(x-n)=
(x-n)
2(1+n-x).
f(x)=
f(x-1)=
f(x-2)=…=
f(x-n)=
(x-n)
2(1+n-x).(n=0也适用).…(4分)
(Ⅱ)f'(x)=
,由f'(x)=0得x=n或x=n+
x | n | (n,n+) | n+ | (n+,n+1) | n+1 |
f'(x) | | + | 0 | - | + |
| 0 | ↗ | 极大 | ↘ | 0 |
f(x)的极大值为f(x)的最大值,
,
又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0,∴|f(x)|=f(x)≤
(x∈[n,n+1]).…(8分)
(Ⅲ)y=f(x),x∈[0,+∞)即为y=f(x),x∈[n,n+1],f'(x)=-1.
本题转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题
即方程
在[n,n+1]内是否有解.…(11分)
令g(x)=
,
对轴称x=n+
∈[n,n+1],
又△=…=
,g(n)=
,g(n+1)=
,
①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解,即存在三个点P;
②n≥3时,g(n+1)<0,方程g(x)=0在[n,n+1]上无解,即不存在这样点P.
综上所述:满足条件的点P有三个.…(16分)
分析:(Ⅰ)通过已知表达式,求出f(x-n)=
(x-n)
2(1+n-x).通过递推关系式求出f(x)的解析式;
(Ⅱ)求出函数的导数,求出函数的最大值,利用最大值小于等于
,即可证明对于任意的n∈N
+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤
;
(Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,转化为方程f'(x)=-1在[n,n+1]上有解问题,通过①当0≤n≤2时,g(n+1)≥0,推出有一解,即存在三个点P;②n≥3时,g(n+1)<0,没有解.得到结果.
点评:本题通过函数的导数判断函数的单调性求出函数的最大值,证明恒成立问题的应用,考查函数与方程的根的问题,考查转化思想,逻辑推理能力,计算能力.