Question

设多面体ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形，若∠ADC=120°，AD=2，AB=2，CD=4，EF=3，G为BC的中点．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意得：GH∥EF且GH=EF，则可得EFHG为平行四边形，故EG∥FH又FH?平面ADF所以EG∥平面ADF
（2）FH⊥平面ABCD，且EG⊥平面ABCD可得∠EDG是直线DE与平面ABCD所成的角，解三角形△EGD得DG=

7

且DE=2

2

，cos∠EDG=

DG

DE

=

14

4

．
所以直线DE与平面ABCD所成角的余弦值

14

4

．

解答：（1）证明：如图，设H是AD的中点，可得GH=3，则GH=EF，
又∵GH∥CD，EF∥CD
∴GH∥EF，则EFHG为平行四边形，
故EG∥FH，
又∵FH?平面ADF
∴EG∥平面ADF；
（2）解：∵△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形．
∴FH⊥AD，
又∵平面ADF⊥平面ABCD
∴FH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴∠EDG是直线DE与平面ABCD所成的角
∵∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，
又∵AB=AD=2，∴BD=2∴∠ADB=60°，
又∵CD=4，由余弦定理BC=2

3

∴∠DBC=90°，BG=

3

，
∴DG=

7

又∵EG=FH=1，∴DE=2

2

，
∴cos∠EDG=

DG

DE

=

14

4

所以直线DE与平面ABCD所成角的余弦值

14

4

．

点评：证明线面垂直关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线；求线面角的步骤是找角作角求角关键是找角，这也是高考考查的重点．