【题目】已知函数f(x)=e﹣x(lnx﹣2k)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设 ,对任意x>0,证明:(x+1)g(x)<ex+ex﹣2 .
【答案】
(1)解:因为 ,
由已知得 ,∴
.
所以 ,
设 ,则
,
在(0,+∞)上恒成立,即k(x)在(0,+∞)上是减函数,
由k(1)=0知,当0<x<1时k(x)>0,
从而f'(x)>0,当x>1时k(x)<0,从而f'(x)<0.
综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞)
(2)解:因为x>0,要证原式成立即证 成立,
现证明:对任意x>0,g(x)<1+e﹣2恒成立,
当x≥1时,由(1)知g(x)≤0<1+e﹣2成立;
当0<x<1时,ex>1,且由(1)知g(x)>0,
∴ .
设F(x)=1﹣xlnx﹣x,x∈(0,1),则F'(x)=﹣(lnx+2),
当x∈(0,e﹣2)时,F′(x)>0,
当x∈(e﹣2,1)时,F′(x)<0,
所以当x=e﹣2时,F(x)取得最大值F(e﹣2)=1+e﹣2.
所以g(x)<F(x)≤1+e﹣2,即0<x<1时,g(x)<1+e﹣2.
综上所述,对任意x>0,g(x)<1+e﹣2.①
令G(x)=ex﹣x﹣1(x>0),则G'(x)=ex﹣1>0恒成立,
所以G(x)在(0,+∞)上递增,G(x)>G(0)=0恒成立,
即ex>x+1>0,即 .②
当x≥1时,有: ;
当0<x<1时,由①②式, ,
综上所述,x>0时, 成立,
故原不等式成立
【解析】(1)求出f(x)的导数,通过解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为证 成立,从而证明
,设F(x)=1﹣xlnx﹣x,根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减即可以解答此题.
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【题目】函数是数学中重要的概念之一,同学们在初三、高一分别学习过,也知晓其发展过程.1692年,德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词,1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数,“函”意味着信件,巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题,尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.
已知函数f(x)满足:对任意的整数a,b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2,且f(-2)=-3.求f(96)的值.
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【题目】已知函数.
(1)求函数的最小正周期与单调递减区间;
(2)若函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
倍,所得的图象与直线
交点的横坐标由小到大依次是
,求
的值.
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【题目】已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是 (t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA||PB|=1,求实数m的值.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列 的前n项和最大?
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【题目】如图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值,输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图所示,为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD
平面PBC=
.
(1)求证:BC∥;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , a1=a.当n≥2时,Sn2=3n2an+Sn﹣12 , an≠0,n∈N* .
(1)求a的值;
(2)设数列{cn}的前n项和为Tn , 且cn=3n﹣1+a5 , 求使不等式4Tn>Sn成立的最小正整数n的值.
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