Question

6．已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（　　）

• A． -500.5
• B． -501.5
• C． -502.5
• D． -503.5

Answer 1

分析 令F（x）=x²f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，可得f′（1）=-4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a的值．

解答 解：令F（x）=x²f（x），
由（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得
x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x²f′（x）＞0，即F（x）递增；
当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x²f′（x）＜0，即F（x）递减．
即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，可得f′（1）=-4，
曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y-2=-4（x-1），
即有g（x）=6-4x，
由g（a）=2016，即有6-4a=2016，解得a=-502.5．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算法则的逆用，以及函数的单调区间和极值点，考查运算能力，属于中档题．