[题目]函数f.且对一切x>0.y>0都有.当时.有的值,的单调性并加以证明,在[1,16]上的值域．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有，当时，有

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并加以证明；

(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）在恒等式中，令，即可求得的值；（2）设，且，利用恒等式得到，根据题中条件，判断的正负，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据，结合，赋值，，代入即可求得，从而求得在上的值.

试题解析：(1)∵当，时，，∴令，则.

(2)设，且，则，∵，∴，∴，∴，即在上是增函数．

(3)由(2)知在上是增函数．∴，，∵，由，知，∴，∴在上的值域为．

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