Question

7．在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设E是棱CC₁的中点．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）求证：AC∥平面B₁DE；
（3）求三棱锥A-B₁DE的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明BD⊥平面AEC，得出BD⊥AE；
（2）通过△ACC₁的中位线证明线线平行，再证明线面平行；
（3）点A到平面B₁DE的距离等于点C到平面B₁DE的距离，利用等积法求出三棱锥A-B₁DE的体积．

解答 （1）证明：连接BD，AE，

∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵EC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴EC⊥BD，且EC∩AC=C，
∴BD⊥平面AEC，
又AE?平面AEC，∴BD⊥AE；
（2）证明：连接AC₁，设AC₁∩B₁D=G，

则G为AC₁的中点，E为C₁C的中点，
∴GE为△ACC₁的中位线，
∴AC∥GE，GE?平面B₁DE，AC?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE；
（3）解：由（2）知，点A到平面B₁DE的距离等于点C到平面B₁DE的距离，
∴三棱锥A-B₁DE的体积是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×2×4）×4=$\frac{16}{3}$，
∴三棱锥A-B₁DE的体积为$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题，也考查了求几何体的体积的问题，是综合性题目．