Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，若数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）
（1）证明数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=f（a_n）=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，两边取倒数可得；$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，即可证明．
（2）c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=（2n-1）•3ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=f（a_n）=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，两边取倒数可得；$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：c_n=$\frac{3^n}{a_n}$=（2n-1）•3ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项的和S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3S_n=3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=$\frac{2×3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=2（1-n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．